Anillos y módulos noetherianos: descomposición primaria, teoría de la dimensión de Krull. Extensiones enteras. Álgebras de tipo finito sobre un cuerpo: lema de la normalización de Noether; teorema de los ceros de Hilbert; cerradura entera de un álgebra de tipo finito. Álgebra local: sistema de parámetros y profundidad; anillos locales regulares y de Cohen-Macaulay; teorema de los "Syzygies" (Hilbert); caracterización homológica de los anillos regulares (Serre-Auslander-Buchsbaum). Polinomio característico: polinomio característico de Hilbert-Serre; polinomio característico de Samuel; anillos graduados y multiplicidad: aplicación: invariantes de geometría algebraica.
Los teoremas del Hahn-Banach. Introducción a la teoría de las funciones convexas conjugadas. Los teoremas de Banach-Steinhaus y del gráfico cerrado. Operadores no Acotados. Noción de adjunto. Caracterización de los operadores sobreproyectivos. Topologías débiles. Espacios reflexivos. Espacios Separables. Espacios uniformemente convexos. Los espacios Lp. Los espacios de Hilbert. Operadores compactos. Descomposición espectral de los operadores compactos autoadjuntos. El teorema de Hille-Yosida. Espacios de Sobolev y formulación variacional de los problemas de contorno en dimensión uno.
Variedades Afines y Proyectivas. El Teorema de Nullstellensatz de Hilbert, La topología de Zariski. Funciones Racionales y morfismos. Variedades Normales. Normalización. Diferenciales y no singularidad. El Criterio de Jacobiano. El Blowing-up. Aplicaciones Racionales. Curvas no singulares y cuerpos de funciones. Teoría de la intersección en CP(n). El Teorema de Bezout. Haces y Esquemas. Morfismo de Esquemas. Haces de Modulos y Haces Coherentes. Divisores de Cartier.
Grupo Fundamental y Espacios de Recubrimiento: Homotopía, equivalencia de homotopía entre espacios topológicos. El grupo fundamental asociado a un espacio topológico. Invariancia de los grupos fundamentales por equivalencia homotópica. Espacios de recubrimiento. Levantamiento de caminos y propiedad de levantamiento homotópico. Grupo fundamental de esferas, toros, espacios proyectivos. Correspondencia entre espacios de recubrimiento de X y las clases de conjugación de los subgrupos del grupo fundamental de X. Espacio de recubrimiento universal de X. Complejos Simpliciales y Homología. Complejos simpliciales finitos y subdivisiones. Teorema de aproximación simplicial. Homología simplicial. Grupos de homología. Propiedades functoriales. Invariancia de los grupos de homología baja equivalencia homotopía. Teorema del punto fijo de Brouwer.
Variedades Diferenciales. Homotopía: Homotopías en variedades diferenciales, El concepto de grado. Clasificación homo tópica de las aplicaciones f: M S donde M es una variedad orientable y S es la esfera unitaria, Caso no orientable. Campos Vectoriales: Teorema de Poincaré y Brouwer, El fibrado tangente, Transversalidad y sus aplicaciones. La característica de Euler de una variedad, Indice de una singularidad aislada. La Integral de la Curvatura: Curvatura Gaussiana de una hipersuperficie, El grado de la aplicación normal. El teorema de la integral de la curvatura.
Complejos de Cadenas. Sucesión de Mayer-Vietoris. Complejo de DeRham. Soporte compacto. Invariancia homotópica de la Cohomología de DeRham. Cohomología de dimensión máxima. Dualidad de Poincaré. Teorema de Jordan-Brower. Invariancia de los abiertos. Dualidad de Alexander en la esfera. Homología singular. Cohomología singular. Teorema de DeRham. Introducción a la Teoría de Morse. Singularidades tipo Morse. Pasaje por niveles críticos de singularidad de Morse.
Teorema de Bezout: Geometría Proyectiva. Resultante. Multiplicidad de Intersección. Puntos Singulares: Critério de Jacobi. Teorema de Preparación de Weierstrass, Lema de Hensel. Series de Newton-Puisuex. Fórmula de Plücker: Dualidad de Pondelet-Gergonne, Curva Polar, Puntos de Inflexión, Hessiana. Teorema Fundamental de Max Noether: Divisores, Curvas Adjuntas. Curvas Cúbicas: Invariante Modular, Estructura de Grupo. Resolución de Singularidades: Funciones Racionales, El Método del Blowing-up centrado en un punto, Transformaciones cuadráticas. Teorema de Riemann-Roch: Diferenciales. Fórmula de Riemann-Hurwitz. Puntos de Weierstrass, Curvas Hiperhelípticas. Curvas de Género menor o igual que tres.
Variedades Analíticas Complejas. Mapeos en Variedades Analíticas Complejas. Dimensión de una Variedad Compleja. Superficies de Riemann. Funciones Meromorfas sobre una Superficie de Riemann. Multiplicidad de un Mapeo. Orden de una Función. Propiedades Topológicas de Mapeos sobre Superficies de Riemann. Divisores sobre Superficies de Riemann. Cubrimientos Ramificados en Superficies de Riemann. Cubrimientos Universales. Continuación de Mapeos. Topología de las Superficies de Riemann: Orientabilidad, Triangulabilidad, el Género Topológico, La característica de Euler. La Fórmula de Hurwitz, Números de Betti. Dualidad de Poincaré. Clasificación de Superficies de Riemann. El Teorema de Uniformización. Superficies de Riemann de tipo Elíptico, Parabólico e Hiperbólico. Divisores. El Teorema de Riemann-Roch. Relación entre Superficies de Riemann y Curvas Algebraicas.
Funciones Holomorfas de Varias Variables Complejas, principales propiedades. Series de Potencias de Varias Variables, criterios de convergencia. Funciones holomorfas y variedades complejas. Extensión de funciones holomorfas. El Teorema de Hartogs. El operador delta barra. Aproximación polinomial. Cohomología en formas diferenciables. Dominios de holomorfía, Convexidad holomorfa. Funciones subarmónicas. Funciones pluriarmónicas y plurisubarmónicas. Dominios convexos. Clases especiales de funciones plurisubarmónicas. Subconjuntos pseudoconvexos de Cn. Pseudoconvexidad y Cohomología de Dolbeault. Conjuntos pseudoconvexos con frontera suave. Formas de Levi.
Funciones Holomorfas. Fibrados Vectoriales Simplecticos. Fibrados Vectoriales Hermitianos . Variedades Complejas. Haces y Cohomología de Cech. Estructuras de Kahler. La curvatura en Variedades de Kahler. Fibrados Vectoriales Holomorfos. Curvatura en Variedades de Kahler.
Métricas Riemannianas. Conexión. Geodésicas. Curvatura. Campos de Jacobi. Campos de Tensiones. Aplicaciones armónicas y sus propiedades básicas. Inmersiones Mínimas. Subvariedades Riemannianas de curvatura media paralela. Derivada exterior. Operador de Laplace-Beltrami. Formas armónicas. Teorema de Hodge.
Fibrados Vectoriales. Transporte Paralelo. Grupo de Holonomía. Conexión. Tensor curvatura. Operador Derivada Covariante. Ecuaciones de Estructura. El espacio de conexiones en un Fibrado Vectorial. Clases Características. Fibrados Vectoriales Riemannianos. Teorema de Gauss-Bonnet.
Grupos de Lie. Acción de un grupo de Lie. Fibrados Principales. Subfibrados Principales. Paralelismo en Fibrados Principales. Formas de conexión. Formas de Curvatura. Grupos de Holonomía. Reducción de conexiones. Fibrados de las bases. Clases Características. Introducción a Estructuras Spin.
Anillo local de funciones holomorfas, Teorema de Preparación de Weierstrass. Germenes de espacios analiticos. Dimensión, funciones de Hilbert-Samuel y multiplicidad. Anillos locales regulares y el criterio del jacobiano. Principio de conservación del número. Singularidades de curvas planas. Teorema de aproximación de Artin y Grauert. Clasificación de singularidades simples. Deformación de singularidades.
Proceso estocástico. Tiempo opcional y tiempo de parada. Martingalas (tiempo continuo). Teorema de muestreo opcional. Teorema de descomposición de Doob-Meyer. Procesos gaussianos. Integral de Itô. Construcción y propiedades elementales de la integral con respecto a martingalas continuas. Caracterización de la integral. Regla de Itô. Teorema de Girsanov. Integral con respecto a martingalas discontinuas.
Propiedad de Markov. Propiedad fuerte de Markov. Difusión en Rn. Ecuaciones diferenciales estocásticas. Generador del proceso de Markov. Problema martingala. Convergencia de procesos. Fórmula de Feynman-Kac. Sistemas de partículas.